델타와 감마 — 채권의 공식이 옵션에서 다시 태어난다

유영휘 · CFA, FRM 2026.09.09

지난 편의 마지막 절에서 이렇게 적었습니다. 테일러 전개는 채권 전용 도구가 아니라 민감도를 분해하는 일반적인 틀이고, 같은 구조가 옵션에서 그대로 반복된다고요. 이번 편은 그 문장을 끝까지 밀고 갑니다. 결론부터 말하면 채권에서 배운 duration과 convexity는 옵션에서 각각 델타와 감마라는 이름으로 다시 등장합니다. 이름이 바뀐 이유는 미분하는 변수가 금리에서 기초자산 가격으로 바뀌었기 때문일 뿐, 식의 골격은 동일합니다.

1. 왜 그릭스가 필요한가

옵션 가격은 여러 변수의 함수입니다. 기초자산 가격 $S$, 행사가 $K$, 잔존만기 $T$, 변동성 $\sigma$, 무위험이자율 $r$가 모두 값에 영향을 줍니다. 문제는 이 변수들이 동시에 움직인다는 점입니다. 어제 옵션이 6.12였고 오늘 6.69라면, 주가가 올라서인지 만기가 하루 줄어서인지 변동성이 변해서인지 가격 하나만 봐서는 알 수 없습니다.

그래서 실무는 가격의 변화를 원인별로 쪼갭니다. 각 변수로 편미분한 값에 그리스 문자 이름을 붙인 것이 the greeks입니다. 이번 편이 다루는 것은 그중 기초자산 가격에 대한 1차·2차 미분, 즉 델타와 감마입니다.

이 절이 말하는 것: 그릭스는 새로운 이론이 아니라, 여러 변수가 섞인 가격 변화를 변수별로 나누어 보기 위한 편미분 장부다.

2. 채권의 식을 옵션 언어로 옮기기

지난 편에서 채권 가격 $P$를 만기수익률 $y$로 전개해 다음 식을 얻었습니다.

여기서 미분 대상 변수를 $y$에서 $S$로 바꾸고, 함수를 채권 가격 $P$에서 콜옵션 가격 $C$로 바꾸면 그대로 옵션의 식이 됩니다. 형태를 비율이 아닌 절대금액 변화로 쓰는 것이 옵션 쪽 관행이라, 좌변도 $\Delta C$가 됩니다.

부호에 한 가지 차이가 있습니다. 채권 가격은 금리의 감소함수라 1차항 앞에 음수가 붙지만, 콜옵션 가격은 기초자산의 증가함수라 그대로 양수입니다. 음수 부호는 수학이 아니라 경제적 관계에서 나온 것이니, 대응 관계를 볼 때 헷갈리지 않으셔야 합니다.

이 식이 말하는 것: 두 식은 다른 공식이 아니라, 같은 전개식에서 미분 변수만 갈아 끼운 결과다.

3. 델타 — 1차 미분에 붙은 이름

델타는 기초자산 가격이 1단위 움직일 때 옵션 가격이 얼마나 움직이는가입니다. 정의는 편미분 한 줄입니다.

블랙-숄즈 모형에서 콜옵션의 델타는 $N(d_1)$으로, 0과 1 사이의 값을 가집니다. 깊은 외가격이면 0에 가깝고(주가가 조금 움직여도 옵션은 반응하지 않음), 깊은 내가격이면 1에 가깝습니다(사실상 주식처럼 움직임). 등가격 부근이 대략 0.5입니다.

실무에서 델타를 읽는 가장 실용적인 방법은 "주식 몇 주에 해당하는가"입니다. 델타 0.5562인 콜옵션 1계약(기초자산 100주 기준)은 주식 약 55.6주를 보유한 것과 같은 가격 민감도를 가집니다. 포지션 전체의 델타를 합산해 "우리 북은 주식 몇 주 상당"이라고 말하는 것이 데스크의 일상 언어입니다.

이 식이 말하는 것: 델타는 옵션 가격 곡선 위 한 점에서 그은 접선의 기울기이며, 곧 "주식 몇 주와 같은가"라는 번역이다.

4. 델타는 확률이 아닙니다

델타를 "만기에 내가격으로 끝날 확률"이라고 설명하는 자료가 많습니다. 편리한 어림이지만 엄밀히는 틀린 말이고, 실무에서 오해를 부르는 지점이라 짚고 갑니다.

블랙-숄즈 공식에는 두 개의 정규분포 누적값이 등장합니다.

이 중 행사 확률에 해당하는 것은 $N(d_2)$이고(위험중립 측도 기준), 델타는 $N(d_1)$입니다. 두 값은 $d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T}$만큼 벌어져 있어, 만기가 길거나 변동성이 클수록 차이가 커집니다. 아래 검증에 쓸 옵션에서도 $N(d_1)=0.5562$인데 $N(d_2)$는 그보다 작습니다. 등가격 단기 옵션에서 둘이 비슷해 보이는 것뿐입니다.

이 절이 말하는 것: 델타는 민감도이고 확률은 $N(d_2)$다. 근사로 쓰는 것은 자유지만, 만기가 길어지면 어림이 무너진다.

5. 감마 — 델타가 변하는 속도

델타는 상수가 아닙니다. 주가가 움직이면 델타도 따라 변합니다. 그 변화율이 감마이고, 옵션 가격을 기초자산으로 두 번 미분한 값입니다.

지난 편의 컨벡시티가 "듀레이션이 변하는 속도"였던 것과 정확히 같은 자리입니다. 감마가 크다는 것은 주가가 조금만 움직여도 델타가 크게 달라진다는 뜻이고, 그만큼 접선 근사가 빨리 무너진다는 뜻이기도 합니다.

감마는 등가격 부근에서 가장 크고 양쪽으로 갈수록 작아집니다. 깊은 외가격 옵션은 델타가 0 근처에서 거의 변하지 않고, 깊은 내가격 옵션은 델타가 1 근처에 붙어 역시 변하지 않기 때문입니다. 변화의 여지가 가장 큰 지점이 등가격이라는 직관과 맞아떨어집니다.

이 식이 말하는 것: 감마는 곡선의 휘어짐이자 델타의 불안정성이며, 등가격에서 최대가 된다.

6. 델타-감마 근사식 유도

이제 식을 직접 만들어 보겠습니다. 지난 편과 동일한 절차라, 따라가시면 두 편이 하나의 작업이었다는 것이 보이실 겁니다.

7. ½은 여기서도 테일러가 준 것

지난 편에서 컨벡시티 항의 ½을 두고 "관행이 아니라 전개식의 계수"라고 강조했습니다. 옵션에서도 사정은 같습니다. 다만 실무 표기에 한 가지 함정이 있습니다. 채권 리서치에서 말하는 컨벡시티 수치는 이미 $P''/P$ 형태로 정규화된 값이라 ½을 따로 곱해야 하지만, 옵션의 감마는 정규화 없이 $\partial^2 C/\partial S^2$ 그대로 보고됩니다. 그래서 감마 손익을 계산할 때 ½을 빠뜨리면 오차가 정확히 두 배가 됩니다. 아래 검증표에서 이 계수의 무게를 숫자로 확인하실 수 있습니다.

8. 실제 옵션으로 검증하기

말로만 하면 근사는 늘 그럴듯합니다. 숫자로 확인하겠습니다. 대상은 앞의 그림과 같은 조건의 콜옵션입니다.

조건 — 기초자산 $S_0=100$, 행사가 $K=100$, 잔존만기 $T=0.5$년, 변동성 $\sigma=20\%$, 무위험이자율 $r=2\%$. 블랙-숄즈로 계산하면 $C_0 = 6.1207$, $\Delta = 0.5562$, $\Gamma = 0.02793$입니다.

읽어야 할 것이 세 가지입니다. 첫째, 주가가 ±5 움직이는 구간까지는 감마 보정이 오차의 95% 이상을 흡수합니다. 둘째, 델타만 쓴 근사는 양방향 모두에서 투자자에게 불리하게 틀립니다 — 상승 시 이익을 과소평가하고(+10에서 1.26 부족), 하락 시 손실을 과대평가합니다 (−10에서 1.43 과다). 지난 편에서 본 채권의 양의 볼록성과 정확히 같은 성질입니다.

셋째, ±10에서는 델타+감마의 오차도 눈에 띄기 시작하고, 부호가 위쪽에서 음수·아래쪽에서 양수로 갈립니다. 이 비대칭이 3차항이 존재한다는 증거이며, 14절에서 그 이름을 다룹니다.

이 표가 말하는 것: 감마 한 항이 실무에서 필요한 정확도의 대부분을 책임진다. 다만 큰 변동에서는 2차 근사에도 한계가 있다.

9. 델타 헤지 — 헤지했는데 왜 손익이 남는가

옵션을 판 딜러는 주가 방향에 베팅하고 싶지 않습니다. 그래서 델타만큼 기초자산을 사서 방향 노출을 상쇄합니다. 이것이 delta hedging이고, 순델타가 0이 된 상태를 delta-neutral이라고 합니다.

콜옵션 100계약(계약당 100주)을 매도했다면 델타 0.5562 × 100 × 100 = 약 5,562주를 매수해 중립을 만듭니다. 여기까지는 간단합니다. 문제는 그다음입니다. 주가가 100에서 103으로 오르면 델타는 0.5562에서 0.6370으로 커지고, 중립을 유지하려면 약 808주를 추가로 사야 합니다. 주가가 내리면 반대로 팔아야 합니다.

델타가 변하기 때문에 헤지는 한 번으로 끝나지 않습니다. 그리고 델타를 변하게 만드는 것이 바로 감마입니다. 그래서 실무에서는 이렇게 말합니다 — 델타는 헤지하는 것이고, 감마는 헤지가 얼마나 자주 필요한지를 알려 주는 것이라고요.

10. 감마 손익과 세타라는 청구서

델타 중립을 맞춰 놓았는데도 손익이 생깁니다. 1차항을 0으로 만들었으니 남는 것은 2차항입니다.

첫 항이 gamma P&L입니다. $(\Delta S)^2$이므로 주가가 오르든 내리든 부호가 항상 양수입니다. 옵션을 산 쪽(롱 감마)은 주가가 움직이기만 하면 벌고, 방향은 상관없습니다. 공짜처럼 들리는데, 당연히 값을 치릅니다.

둘째 항의 $\theta$(세타)는 시간이 지나면서 옵션 가치가 줄어드는 속도이고, 롱 포지션에서는 음수입니다. 앞의 옵션은 세타가 연간 −6.58, 하루로 환산하면 약 −0.018입니다. 즉 아무 일도 일어나지 않으면 하루에 0.018을 잃습니다. 이 손실을 감마 손익으로 메우려면 주가가 얼마나 움직여야 할까요. $\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2 = 0.018$을 풀면 $|\Delta S| \approx 1.14$가 나옵니다. 하루 1.14 이상 움직이면 벌고, 그보다 잠잠하면 잃는 구조입니다.

11. 롱 감마와 숏 감마

포지션의 성격을 감마의 부호로 부르는 것이 데스크의 관행입니다. 옵션을 산 쪽은 long gamma, 판 쪽은 short gamma입니다. 지난 편에서 다룬 컨벡시티의 long/short convexity와 같은 어법이고, 실제로 같은 성질을 가리킵니다.

둘의 행동 방식은 정반대입니다. 롱 감마는 델타 중립을 유지하려면 오를 때 팔고 내릴 때 사게 됩니다. 시장 흐름을 거스르는 매매라 변동성을 눌러 주고, 재조정 과정에서 조금씩 이익이 쌓입니다. 이 반복 작업을 gamma scalping이라 부릅니다. 반면 숏 감마는 오를 때 사고 내릴 때 팔아야 합니다. 시장 방향을 따라가는 매매라 변동성을 증폭시킵니다.

12. 음의 감마가 시장을 밀어붙일 때

여기서 지난 편의 컨벡시티 헤징과 완전히 같은 이야기가 반복됩니다. 시장 전체의 옵션 딜러가 숏 감마에 몰려 있으면, 그들의 헤지 매매가 주가 움직임을 스스로 키웁니다. 주가가 오르면 델타를 맞추려 사야 하고, 그 매수가 주가를 더 올리고, 다시 더 사야 하는 순환입니다.

지난 편에서 MBS 보유자의 헤지가 국채 금리를 밀어붙인다고 했는데, 자산과 시장만 바뀐 동일한 메커니즘입니다. 최근 급등 기사에 등장하는 gamma squeeze가 이 구조를 가리키는 말이고, 숏 스퀴즈 편에서 다룬 공매도발 강제 매수와 겹쳐 증폭되는 경우가 많습니다. 감마라는 한 글자가 개별 포지션의 손익을 넘어 시장 구조를 설명하는 자리까지 가는 셈입니다.

13. 채권과 옵션의 대응표

두 편의 내용을 한 표로 정리하면 이렇습니다.

이 표가 말하는 것: 두 자산군의 리스크 언어는 번역 관계에 있다. 한쪽을 이해하면 다른 쪽은 어휘만 바꾸면 된다.

14. 3차로 가면 — 스피드

8절 표의 ±10 구간에서 남은 오차가 3차항의 몫입니다. 감마를 한 번 더 미분한 값에도 이름이 있습니다. speed($\partial^3 C/\partial S^3$, 감마의 변화 속도)입니다. 그 위로 color, ultima 같은 이름들이 더 있지만, 실무에서 정기적으로 관리하는 것은 사실상 2차까지입니다.

이유는 지난 편과 같습니다. 3차항이 기여하는 크기가 작기도 하지만, 더 근본적으로는 모형 자체의 오차가 3차항보다 크기 때문입니다. 변동성이 상수라는 가정, 주가가 연속적으로 움직인다는 가정이 현실에서 깨지는 폭이 3차항보다 훨씬 큽니다. 정밀도를 더 쌓을 곳은 고차 미분이 아니라 가정 쪽이라는 판단입니다.

15. 직접 계산해 보기

답을 보기 전에 손으로 먼저 풀어 보시길 권합니다.

16. 어디까지 믿을 수 있나

델타-감마 근사가 무너지는 경우를 정리해 둡니다.

첫째, 갭. 이 근사는 주가가 연속적으로 움직인다는 전제 위에 있습니다. 실적 발표나 인수 발표로 주가가 하루아침에 20% 뛰면 2차 근사로는 못 따라갑니다. 재조정할 기회 자체가 없었으니 헤지도 실패합니다.

둘째, 변동성 변화. 델타와 감마는 $\sigma$를 상수로 두고 $S$로만 미분한 값입니다. 변동성이 바뀌면 그 영향은 vega(베가)라는 다른 그릭이 담당하고, 이번 편의 식에는 들어 있지 않습니다. 시장이 급락할 때는 주가와 변동성이 동시에 움직이므로 델타-감마만으로 설명되지 않는 손익이 반드시 남습니다.

셋째, 이산 헤지. 이론은 연속적 재조정을 가정하지만 현실은 이산적이고 거래비용이 붙습니다. 자주 재조정하면 비용이 늘고, 드물게 하면 오차가 커집니다. 그 사이 어딘가를 고르는 것이 실무의 판단 영역입니다.

17. 영어로는 이렇게 말합니다

수식을 이해했다면 마지막은 그것을 말로 다루는 일입니다. 이 시리즈가 금융 영어 노트인 이유이기도 합니다.

마지막으로 회의에서 가장 자주 듣게 될 한 마디는 "What are your greeks?"입니다. 직역하면 "당신의 그리스 문자는 무엇이냐"는 이상한 말이지만, 실제로는 "당신 포지션의 리스크를 항목별로 보고하라"는 요청입니다. 이번 편에서 다룬 델타와 감마가 그 보고서의 첫 두 줄입니다.